Atendo em uma clínica ou hospital. A instituição pode pedir a numeração digital por mim?

Não, no digital, a numeração é pedida por você, com o seu próprio login gov.br, e fica vinculada à sua inscrição profissional. Isso vale também para quem atende em instituições de saúde: não existe numeração digital da instituição, nem pedido em nome do corpo clínico.
A instituição pode apoiar: garantir que os profissionais estejam com o cadastro na Vigilância em dia, o certificado ICP-Brasil válido e o saldo acompanhado. No papel, nada muda: a instituição continua podendo solicitar o talonário institucional na Vigilância Sanitária local.